Cuadrados "mágicos".

Para Moshito, que resuelve los problemas mentalmente y sabe de conjuros.


Recuerdo como si hubiera sido ayer mi primera clase extraescolar de Matemáticas. El problema era construir un "cuadrado mágico" de 3x3. Un "cuadrado mágico" es una cuadrícula donde se acomodan números consecutivos de manera que la suma de los reglones, las columnas y las diagonales del cuadrado sean iguales. La siguiente imagen es el detalle de un "cuadrado mágico" de 4 x 4 en la obra Melancolía de Alberto Durero.

Primer renglón 16, 3, 2, 13. Segundo renglón 5, 10, 11, 8. Tercer renglón 9,6,7,12. Cuarto renglón 4, 15, 14, 1.

Pueden verificar que la suma de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal es igual a 34.

El problema que vamos a platicar aquí es cómo acomodar en una cuadrícula 3x3 los números del 1 al 9 de manera que la suma de los números de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal, sea la misma.

Tal vez quieras intentar unas horas construir este arreglo peculiar y regresar después a leer el resto del post. Te adelanto que más tarde construiremos este cuadrado, y no solo eso, sino infinidad de "cuadrados mágicos".

Seguimos. La primera pista que podríamos querer es ¿cuánto vale esta suma? Bueno, supongamos que es posible acomodar los números cumpliendo las condiciones que me piden. Entonces, sumando los 3 renglones, obtengo la misma cantidad, que llamaremos total.

Por otro lado, sabemos que la suma de los números del 1 al 9 es 45. Entonces:

total (primer renglón) + total (segundo renglón) + total (tercer renglón) = 3 total = 45.

Por lo tanto, total es igual a dividir 45 entre 3. O sea, total = 15. ¡Ya sabemos que si el "cuadrado mágico" 3x3 se puede construir, la suma tendría que ser 15!

Noten que podemos repetir el mismo argumento con las columnas y obtenemos la misma información. Tal vez ahora con este nuevo dato quieras regresar a tus hojas garabateadas a seguir intentando acomodar los números en la cuadrícula, o empezar a intentarlo en la servilleta del café, o seguirlo pensando para distraerte cuando estés enmedio el tráfico.

Si no, seguimos. Tal vez ya te diste cuenta que las esquinas del cuadrado son "un problema" porque se usan tres veces: en la suma de su columna, en la suma de su renglón y en la suma de la diagonal a la que pertenecen.

Entonces, el 9 no puede ir en una esquina. Porque el 9 se completa con 6 para sumar 15, 15-9=6. Pero como solo estamos usando los números del 1 al 9, solo tenemos dos formas de obtener ese 6, o usando 1 y 5, o usando 2 y 4. Nota que no podemos usar 3+3=6 porque no podemos repetir el 3. Abajo mostramos un posible acomodo donde intentamos poner el 9 en una diagonal y vemos que no funciona.

Por el mismo argumento el 9 no puede ir en el centro. Porque el número que está en el centro es considerado en 4 sumas, el renglón del centro, la columna del centro y las dos diagonales. Luego el 9 debe ir en una casilla que no sea ni el centro, ni las esquinas. Explotando esta idea que caracteriza la casilla del centro y buscando entre los nueve números, concluimos que el número 5 es el único que puede ir en el centro. ¿Por qué? Porque le faltarían 10 para sumar 15. Y el 10 se puede obtener sumando, 1y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6. Puedes intentar escribir lo mismo para los otros números y verás que no se puede de 4 formas diferentes. Luego, juntando toda esta información, nuestro cuadrado ya se ve así.

El resto es completar el cuadrado usando que la suma de las diagonales, los renglones y las columnas es 15.

Ahora quiero limpiar un poco de lo "mágico". En la literatura podemos encontrar que a este número 15 se le llama "constante mágica". Bueno, ahora que construimos nuestro "cuadrado mágico" vamos a construir otros "cuadrados mágicos" muy fácilmente con otra "constante mágica". ¿Cómo? Basta sumar o restar a cada uno de los números del cuadrado un número, el que quieran, pero el mismo. Por ejemplo, si le quitamos UNO a cada número del cuadrado que construimos, obtenemos un cuadrado mágico, pero con "constante mágica" 12.

Así, con este truco podemos obtener infinitos "cuadrados mágicos" donde las "constantes mágicas" siempre son múltiplos de 3.

Entonces nos asaltan todo tipo de preguntas sobre los "cuadrados mágicos". Yo ya me hice varias preguntas y espero poder contestarlas en mis ratos libres. Por ejemplo, ¿qué pasa si quitamos la condición de que los números sean consecutivos? ¿o que no se puedan repetir? Espero que ustedes también tengan muchas preguntas y podamos usar los comentarios para platicar.

Quisiera cerrar con una última observación. Regresemos al cuadrado mágico que construimos primero. Noten que las simetrías del cuadrado respetan la propiedad de que las sumas de los renglones, las columnas y las diagonales es la misma. Podemos rotar el cuadrado mágico o reflejarlo respecto a un eje de simetría, que el cuadrado sigue siendo "mágico".

Buscando información sobre "cuadrados mágicos" leí explicaciones que incluían la palabra "esoterismo", incluso en Wikipedia en español. Buscando más información encontré que siglos atrás se asociaban los "cuadrados mágicos" de 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9 con los astros que hasta entonces conocidos y se hacía una relación de los números con letras del alfabeto hebreo. Para quien quiera leer más sobre esto aquí una interesante y excelente referencia. Ahí explican como por medio de ciertos algoritmos sobre el "cuadrado mágico" se obtenía cierto símbolo usado como amuleto. Lo curioso es que , como ya hemos descubierto, este símbolo no es único, ni especial, pues al rotar, o peor, reflejar el "cuadrado mágico" podríamos haber obtenido otro símbolo distinto que también cumple con las mismas propiedades.