¿De qué color es el oso?

Uno de los primeros problemas de matemáticas que encontré en mi vida se lee así:

Un cazador sale de un lugar y camina 10 kilómetros al sur, después 10 kilómetros al este y finalmente 10 kilómetros al norte. Regresa al lugar de partida. Mata un oso. ¿De qué color es el oso?

Recuerdo contarle el problema y "la solución" a mi ortodoncista en un intento desesperado e inmaduro de explicarle que las matemáticas no son números. El hecho me valió que en el resto de las consultas mensuales me preguntara: ¿cómo están los osos?

La respuesta es, por supuesto, blanco. Y este es el argumento lógico más simple: la manera en la que está formulado el problema supone que la solución existe, pues el cazador mató un oso y sólo me preguntan el color. El oso podría ser café, negro, gris o blanco. Yo he visto osos cafés, grises y negros y aqui en mi rancho cuando hago aquel recorrido nunca regreso al mismo punto. Luego, el oso debe ser blanco, como esas ternuritas de los comerciales de Navidad.

Acabo de encontrar el problema reescrito en un blog. El autor nos platica su experiencia personal con el problema, después cuenta la solución oficial y cierra con broche de oro construyendo una infinidad de soluciones.

Mi objetivo aqui es mostrar que estas son todas las soluciones. Recomiendo primero leer el post mencionado y luego ver esta prueba.

Idea de la prueba.

Pensamos que la Tierra es una esfera de radio R.
Describimos un punto en la esfera con dos coordenadas:
- la altura h del meridiano a la que se encuentra el punto, y
- el ángulo t en el círculo meridiano.
Como dato ocioso les comento que les llamamos coordenadas cilíndricas.



Definimos 3 funciones:
- función Sur, S, es caminar 10 kilómetros hacia el sur.
- función Este, E, es caminar 10 kilómetros hacia el este.
- función Norte, N, es caminar 10 kilómetros hacia el norte.

Entonces si llamamos P al punto de Partida podemos escribir el recorrido como:



o sea, buscamos puntos P que satisfacen la siguiente relación:

N ( E ( S (P) ) ) = P

Veremos que esta relación determina cuáles son los posibles puntos P. La idea es que, normalmente, moverse hacia el sur es la acción inversa de moverse al norte. Asi veremos que el problema es equivalente a encontrar puntos fijos de rotaciones, o sea, vueltas completas. Esas son todas las posibles soluciones menos una. La que falta es cuando el punto de partida es el Polo Norte.

Detalles de la prueba.

Describimos un punto P en la esfera usando la altura del meridiano y el ángulo en el círculo meridiano.



Observamos que esta asociación de puntos es inyectiva, o sea, asigna exactamente un punto de la esfera cuando tomamos un punto en el rectángulo menos su borde. Efectivamente, en el borde tenemos el siguiente fenómeno en las coordenadas:
- Todos puntos de altura 0 representan al Polo Sur.
- Todos los puntos de altura 2R representan al Polo Norte.
- Los puntos con ángulo 0 y 2 Pi y altura constante son iguales. Pueden pensar en la siguiente escena de Matrix: Si Neo estuviera caminando de izquierda a derecha sobre una de las líneas amarillas de altura constante, cuando llega al punto con coordenada de ángulo 2 Pi entra por el punto de angulo 0.

Restringiremos entonces por ahora nuestro estudio de las funciones S, E y N aplicadas a puntos del rectángulo menos el borde superior e inferior. Pensaremos los bordes izquierdo y derecho identificados (lo que le pasaba a Neo).

Observamos ahora que la función S no está definida en puntos que se encuentran a menos de 10 km. al norte del Polo Sur. Ni en el Polo Norte. Así, el dominio de la función Sur S es el área de color naranja en las coordenadas, o visto en la Tierra, la esfera menos el Polo Norte y el conjunto amarillo.



Efectivamente, es imposible caminar 10 km. al sur en un punto de los amarillos, pues antes de caminar 10 km ya llegué al Polo Sur y no tengo más una dirección sur. En otras palabras, si me muevo del Polo Sur, en cualquier dirección estoy caminando hacia Norte.
Además, como función, Sur S no está definida en el Polo Norte. Si estoy parada en el Polo Norte, tenemos una infinidad de direcciones para caminar al sur y por lo tanto la función S no está bien definida.

Notemos que N ES LA FUNCIÓN INVERSA de S en la imagen de S: si camino 10 km al sur y luego 10 km al norte, regreso al mismo punto.

Luego, para puntos P en el dominio de S la composición N(E(S(P))) es un punto en el dominio de S. Asi podemos aplicar S a este punto.

S (N (E (S (P) ) ) ) = S (P)

y obtenemos la relación:

E ( S ( P ) ) = S (P)

Moverse al este E sobre un meridiano es una rotación del círculo meridiano y las rotaciones sólo tienen puntos fijos cuando doy vueltas completas. Luego las soluciones son puntos S(P) sobre círculos de longitud 10/n donde n es un número natural.

Falta ver ahora que pasa con el Polo Norte y el Polo Sur, que habíamos excluido de nuestro estudio. La función Sur no está definida para el Polo Sur y para el Polo Norte tenemos otra solución como se puede ver en las coordenadas.



Agradezco a Ricardo que discutió conmigo el problemita cuando asistimos a la XVI Escuela de Geometría en São Paolo.