Es decir, supongamos que existe un número N mayor que todos los números naturales. Demostrar que N=5 es el número con dicha propiedad.
La prueba más original ganará un e-book Kindle. Pueden escribirla como comentario de esta entrada o mandarnos un link donde la podamos revisar.
Observaciones.
Tengo unas palabras para los lectores que sienten un ligero desconforto por mi solicitud de resolver un problema "absurdo": son como yo. Sin embargo, la moraleja de la historia es muy importante: aunque los razonamientos sean correctos, si la premisa es falsa, podemos llegar a demostrar cualquier enunciado, verdadero o falso.
Uno de los ejemplos más populares [1] es el de Bertrand Russell, cuando le pidieron que demostrará que él mismo y el Papa eran una sola persona como consecuencia del hecho de que 5=2+2. A lo que Russell respondió que si se resta 3 a los dos lados de dicha igualdad, se tiene que 2=1, luego 2 personas, por ejemplo, él y el Papa son una persona, luego Russell es el Papa.
Encontré en un libro [2] una referencia a que Hausdorff observó que si dos por dos son cinco entonces existen las brujas. Pero no encontré el argumento. Si alguien tiene una referencia, se lo agradecería. También en este libro hay una prueba donde se prueba si se supone que existe un número mayor que todos, N=1 sería tal número.
¡Esperamos sus demostraciones!
Referencias:
[1] Witold Marciszewski. Logic from a Rhetorical Point of View (1994), p. 109.
http://books.google.com.mx/books/about/Logic_from_a_Rhetorical_Point_of_View.html?id=d8eDdEZH2HMC
[2] Y. Jurguin. Bueno, ¿y qué...? Mir.
Bueno, empezamos con una fácil.
ResponderEliminarSea N=max{n}.
Claramente N>=5.
Por otro lado, como 2N-5 es un número entero, N>=2N-5. Esto es equivalente a 5>=N, por lo que N=5.
Edgardo
Elegante. Gracias Edgardo, saludos.
EliminarSobre la cita de Hausdorff: en realidad él no da ningún argumento, usa el ejemplo justamente para ilustrar que formalmente se puede concluir cualquier cosa a partir de una premisa falsa. Está en una nota a pie de página en la página 58 de su libro de teoría de conjuntos (Mengenlehre), se puede ver el alemán original en la página 80 del siguiente PDF:
ResponderEliminarhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/hausdorff3.pdf
...wenn 2 x 2 = 5, so gibt es Hexen. Gracias Javier.
EliminarLa solución del problema implicaría que |N no contiene al 1 (de otro modo lo podrías sumar a max n), lo cual implicaría que |N consiste sólo del cero. Por tanto, todo número número en |N es igual a 0. En particular max n, y en particular 5.
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
EliminarSi... pero hay que intentar probarlo sin cambiar el conjunto de los naturales. ;)
EliminarVamos provar por que todos os números naturais são iguais. Em particular, todos são iguais a cinco, de onde decorre o máximo. Por indução: Para o conjunto unitário, nada a fazer. Suponha que a afirmação seja válida para qualquer subconjunto dos naturais com n elementos. Considere um subconjunto qualquer dos naturais com n+1 elementos. Retirando um elemento qualquer, obtemos um conjunto com n elementos. Pela hipótese de indução, todos os elementos aí são iguais. Devolva o elemento que havíamos retirado e retire um dos outros. Temos novamente um conjunto com n elementos, portanto todos iguais. Logo, qualquer subconjunto dos naturais tem elementos todos iguais. Abração! Saudade, Tertu
ResponderEliminarTertu, vc provou que todos os naturais sao iguais e nem preciso usar que tinha um elemento maior do que todos!!, hehehe. Nao conseguia ver o erro, mas Migue me mostrou que o argumento falha se vc usa a hipote de inducao e tenta provar que o conjunto {x,y} (onde x=!y) tem todos seus elementos iguais. ;) Saudades também, abraco, bj!
EliminarAlgunas personas incluyen al cero en el conjunto de números naturales. Sin embargo, como 0<1 entonces N>0. Por definición de máximo, N>=5N y N>=NN. N>0 implica 5N>=N
ResponderEliminary N>=1 implica NN>N. Luego, 5N=N=NN. N=!0 permite dividir, así que N=5.
raquel
Oh! Super Raquel. Muchas gracias. =)
EliminarTenía guardado en mi lista de pendientes venir a comentar :P .. mi solución (espero que no demasiado directa): sea n el numero natural más grande de todos, n + 1 también es un número natural por lo que n >= n + 1, pero también n < n + 1, contradicción! por lo tanto brujas... y n = 5.
ResponderEliminarGracias Juan. Me gustó lo de brujas, jajaja.
EliminarSolución del 29/agosto por Christian Axel.
ResponderEliminar"Si N!=5 entonces N<5 o N>5 en el primer caso resutlaria que 5 es mayor que N lo que contradice la hipotesis de que este N sea el mayor de todos; si N>5 resulta que (por construccion de los naturales axiomas de Peano) N+1 esta en los naturales y N+1 >N por lo que contradice que este N sea el mayor de los naturales; por lo tanto no queda otra que N=5."