Cuadrados mágicos II

En la entrega pasada hablamos de como construir un "cuadrado mágico" de 3x3 y notamos al final del artículo que las simetrías respetan la propiedad de que renglones, columnas y diagonales sumen 15.

En primer lugar, queremos estudiar mejor estas simetrías para saber cuántos posibles "cuadrados mágicos" de 3x3 existen y ver que son los únicos "cuadrados mágicos" de 3x3.

Empezemos con el cuadrado mágico que teníamos.

Id

G del cuadrado original

Podemos tomar el cuadrado y Girar un cuarto de vuelta en el sentido de las manecillas del reloj. Le llamaremos a este movimiento G.

G*G

Podemos girar el cuadrado media vuelta, que sería como dos veces Girar un cuarto de vuelta. A este movimiento lo denotaremos como G*G donde el asterisco está indicando que hay que Girar un cuarto de vuelta y después volver a Girar un cuarto de vuelta.

G*G*G

Entonces tres cuartos de vuelta sería G*G*G. Podemos verlo como Girar un cuarto de vuelta tres veces, o girar media vuelta G*G y luego un cuarto de vuelta G.






Si lo giro la vuelta completa regreso al cuadrado original, es Idéntico al cuadrado con el que partí, entonces G*G*G*G = Id es el movimiento que deja en la misma posición al cuadrado. Eso explica la leyenda "Id" de nuestro cuadrado original. ;)

R

Igualmente puedo reflejar mi cuadrado respecto al eje de simetría vertical de mi cuadrado. Le llamaremos a este movimiento R.






Haciendo combinaciones de estos 4 movimientos, obtenemos diferentes movimientos que ponemos en la siguiente imagen:

Los movimientos G*R, G*G*R y G*G*G*R respectivamente.

Pueden verificar que, por ejemplo, G*R es reflejar respecto a una diagonal y así como es fácil ver que G*G es reflejar respecto al eje de simetría horizontal de mi cuadrado. Estos movimientos son todas las simetrías del cuadrado.

Los matemáticos le llamamos a este conjunto de movimientos, G, R, Id, y las combinaciones que vimos arriba, el GRUPO DIÉDRICO DE ORDEN 8. Tiene muchas aplicaciones, en cristalografía, por ejemplo. Pero hoy le daremos un uso diferente a la información que hemos estudiado de este grupo de simetrías. Daremos un argumento para concluir que los "cuadrados mágicos" que aparecen arriba, son todos los "cuadrados mágicos" de 3x3.

Haciendo memoria de como encontramos el "cuadrado mágico" de 3x3 recordarán que una de las pistas que seguimos es que el 9 no podía estar en una esquina. Y vimos que no teníamos libertad para escoger el lugar del 5, que forzozamente va en el centro. Entonces el cuadrado que encontramos "depende" del lado donde acomodamos el 9 y luego el lugar de los números 2 y el 4. Pueden ver que los 8 cuadrados de arriba están todos estos posibles acomodos. Luego, concluimos que estos son todos los posibles "cuadrados mágicos" de 3x3 con los números del 1 al 9. Y no son diferentes, en el sentido de que son combinaciones de rotaciones y reflexiones de nuestro "cuadrado original".

En esta segunda parte, cambiando completamente de tema, quisiera rápidamente comentarles otras historias sobre los "cuadrados mágicos". Hace varios siglos, en la búsqueda de patrones y predicciones, se asociaron los "cuadrados mágicos" en cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9 con los astros Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio, Luna, respectivamente.

Según estas creencias, cada planeta o astro posee una "inteligencia", 'lo que es bueno', y un "espíritu", 'lo que es malo'. El nombre de la "inteligencia del Sol", Nachiel, está asociado al número 111 y tiene un símbolo especial, sigilia, sigil en inglés. El número 111 es "especial" porque es la "constante mágica" del cuadrado 6x6. Así como el 666 es "especial" porque es la suma total de todos los números del cuadrado de 6x6, es decir, la suma de los números desde 1 hasta el 36.

El símbolo o sigilia para la "inteligencia del Sol" se puede encontrar en monedas antiguas como en la señalada en la siguiente figura en un círculo rojo.

El símbolo es "deducido" del "cuadrado mágico". El método, siguiendo a A. Ross,  es como sigue: Usando la siguiente tabla se hace una relación de los números con letras del alfabeto hebreo y se obtiene por cada letra del nombre NACHIEL un número. En los libros de magia, Tres libros de la Filosofía Oculta de Cornelius Agrippa y El Mago de Francis Barret, se pueden encontrar los nombres en Hebreo de las inteligencias, espíritus y otros, asociadas a los astros, en particular, colocamos también esta información sobre el Sol.

Entonces, usando la correspondencia de las letras con los números que tenemos para NACHIEL y uniendo estos números con líneas en el cuadrado mágico se dibuja el símbolo:

Observación: Noten que al 30 y al 50 le quitamos los ceros para tener 3 y 5 al principio y al final del símbolo. 

Aquí hay otra "deducción", en este caso, del símbolo de la "inteligencia de Venus".

Lo curioso es que, como vimos en la primera parte de este post, este símbolo no es único ni terriblemente especial, pues al rotar, o peor, reflejar el "cuadrado mágico del Sol" que es un "cuadrado mágico" de 6x6 podríamos haber obtenido otro símbolo distinto que también cumple con las mismas propiedades.

Los seres humanos gustamos de buscar y descubrir patrones. Hay quien piense que este comportamiento es una ventaja evolutiva para, por ejemplo, poder "descifrar" que hay un león escondido atrás de las hojas de un árbol. El hecho es que somos capaces de armar rompecabezas y somos adeptos a hacer correlaciones. Sin embargo, el detalle fino es poder decidir si las correlaciones, adivinanzas o teorías se corresponden con datos y observaciones que tenemos del mundo, o cuales no.

Cuadrados "mágicos".

Para Moshito, que resuelve los problemas mentalmente y sabe de conjuros.


Recuerdo como si hubiera sido ayer mi primera clase extraescolar de Matemáticas. El problema era construir un "cuadrado mágico" de 3x3. Un "cuadrado mágico" es una cuadrícula donde se acomodan números consecutivos de manera que la suma de los reglones, las columnas y las diagonales del cuadrado sean iguales. La siguiente imagen es el detalle de un "cuadrado mágico" de 4 x 4 en la obra Melancolía de Alberto Durero.

Primer renglón 16, 3, 2, 13. Segundo renglón 5, 10, 11, 8. Tercer renglón 9,6,7,12. Cuarto renglón 4, 15, 14, 1.

Pueden verificar que la suma de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal es igual a 34.

El problema que vamos a platicar aquí es cómo acomodar en una cuadrícula 3x3 los números del 1 al 9 de manera que la suma de los números de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal, sea la misma.

Tal vez quieras intentar unas horas construir este arreglo peculiar y regresar después a leer el resto del post. Te adelanto que más tarde construiremos este cuadrado, y no solo eso, sino infinidad de "cuadrados mágicos".

Seguimos. La primera pista que podríamos querer es ¿cuánto vale esta suma? Bueno, supongamos que es posible acomodar los números cumpliendo las condiciones que me piden. Entonces, sumando los 3 renglones, obtengo la misma cantidad, que llamaremos total.

Por otro lado, sabemos que la suma de los números del 1 al 9 es 45. Entonces:

total (primer renglón) + total (segundo renglón) + total (tercer renglón) = 3 total = 45.

Por lo tanto, total es igual a dividir 45 entre 3. O sea, total = 15. ¡Ya sabemos que si el "cuadrado mágico" 3x3 se puede construir, la suma tendría que ser 15!

Noten que podemos repetir el mismo argumento con las columnas y obtenemos la misma información. Tal vez ahora con este nuevo dato quieras regresar a tus hojas garabateadas a seguir intentando acomodar los números en la cuadrícula, o empezar a intentarlo en la servilleta del café, o seguirlo pensando para distraerte cuando estés enmedio el tráfico.

Si no, seguimos. Tal vez ya te diste cuenta que las esquinas del cuadrado son "un problema" porque se usan tres veces: en la suma de su columna, en la suma de su renglón y en la suma de la diagonal a la que pertenecen.

Entonces, el 9 no puede ir en una esquina. Porque el 9 se completa con 6 para sumar 15, 15-9=6. Pero como solo estamos usando los números del 1 al 9, solo tenemos dos formas de obtener ese 6, o usando 1 y 5, o usando 2 y 4. Nota que no podemos usar 3+3=6 porque no podemos repetir el 3. Abajo mostramos un posible acomodo donde intentamos poner el 9 en una diagonal y vemos que no funciona.

Por el mismo argumento el 9 no puede ir en el centro. Porque el número que está en el centro es considerado en 4 sumas, el renglón del centro, la columna del centro y las dos diagonales. Luego el 9 debe ir en una casilla que no sea ni el centro, ni las esquinas. Explotando esta idea que caracteriza la casilla del centro y buscando entre los nueve números, concluimos que el número 5 es el único que puede ir en el centro. ¿Por qué? Porque le faltarían 10 para sumar 15. Y el 10 se puede obtener sumando, 1y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6. Puedes intentar escribir lo mismo para los otros números y verás que no se puede de 4 formas diferentes. Luego, juntando toda esta información, nuestro cuadrado ya se ve así.

El resto es completar el cuadrado usando que la suma de las diagonales, los renglones y las columnas es 15.

Ahora quiero limpiar un poco de lo "mágico". En la literatura podemos encontrar que a este número 15 se le llama "constante mágica". Bueno, ahora que construimos nuestro "cuadrado mágico" vamos a construir otros "cuadrados mágicos" muy fácilmente con otra "constante mágica". ¿Cómo? Basta sumar o restar a cada uno de los números del cuadrado un número, el que quieran, pero el mismo. Por ejemplo, si le quitamos UNO a cada número del cuadrado que construimos, obtenemos un cuadrado mágico, pero con "constante mágica" 12.

Así, con este truco podemos obtener infinitos "cuadrados mágicos" donde las "constantes mágicas" siempre son múltiplos de 3.

Entonces nos asaltan todo tipo de preguntas sobre los "cuadrados mágicos". Yo ya me hice varias preguntas y espero poder contestarlas en mis ratos libres. Por ejemplo, ¿qué pasa si quitamos la condición de que los números sean consecutivos? ¿o que no se puedan repetir? Espero que ustedes también tengan muchas preguntas y podamos usar los comentarios para platicar.

Quisiera cerrar con una última observación. Regresemos al cuadrado mágico que construimos primero. Noten que las simetrías del cuadrado respetan la propiedad de que las sumas de los renglones, las columnas y las diagonales es la misma. Podemos rotar el cuadrado mágico o reflejarlo respecto a un eje de simetría, que el cuadrado sigue siendo "mágico".

Buscando información sobre "cuadrados mágicos" leí explicaciones que incluían la palabra "esoterismo", incluso en Wikipedia en español. Buscando más información encontré que siglos atrás se asociaban los "cuadrados mágicos" de 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9 con los astros que hasta entonces conocidos y se hacía una relación de los números con letras del alfabeto hebreo. Para quien quiera leer más sobre esto aquí una interesante y excelente referencia. Ahí explican como por medio de ciertos algoritmos sobre el "cuadrado mágico" se obtenía cierto símbolo usado como amuleto. Lo curioso es que , como ya hemos descubierto, este símbolo no es único, ni especial, pues al rotar, o peor, reflejar el "cuadrado mágico" podríamos haber obtenido otro símbolo distinto que también cumple con las mismas propiedades.